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## Test du rapport de vraisemblance

Nous reprenons le problème de tester deux hypothèses simples, quand le modèle est celui d'un échantillon d'une loi de probabilité inconnue :

contre

Les tests portant sur deux valeurs fixées d'un paramètre en sont un cas particulier. Considérons par exemple la série de 10 données binaires suivante :

Le modèle est un échantillon de taille 10 de la loi de Bernoulli de paramètre , pour lequel nous souhaitons tester :

contre

L'idée consiste à comparer les probabilités de l'observation sous chacune des deux hypothèses. Pour la loi de Bernoulli de paramère , la probabilité d'une observation comportant 6 ``1'' et 4 ``0'' est soit pour 0.5 et pour 0.8. Les deux sont faibles, mais le rapport est en faveur de .

Définition 4.3 Soit une loi de probabilité discrète, et un échantillon de la loi . On appelle vraisemblance la statistique :

L'interprétation est la suivante. Par définition, les variables aléatoires sont indépendantes et de même loi . Donc la probabilité que l'échantillon théorique ait pour réalisation l'échantillon observé est le produit des probabilités pour que prenne la valeur , à savoir :

Dans le cas d'un modèle continu, la loi a une densité sur , et la probabilité pour que l'échantillon prenne une valeur particulière est toujours nulle. Il faut alors remplacer la probabilité par sa densité dans la définition de la vraisemblance.

Définition 4.4 Soit une loi de probabilité continue sur et un échantillon de la loi . Notons la densité de probabilité de la loi . On appelle vraisemblance la statistique :

L'interprétation est la suivante. Soit un réel strictement positif (petit). La probabilité que l'échantillon ait une réalisation proche ``à près'' de l'échantillon observé peut s'écrire :

Définition 4.5 Soit un échantillon de la loi . On souhaite tester

contre

Soit la vraisemblance de l'échantillon sous et sa vraisemblance sous . Posons :

On appelle test du rapport de vraisemblance de seuil , le test défini par la règle de décision :

Rejet de

où est la fonction quantile de sous l'hypothèse .

Dans le cas où la loi est discrète, la loi de la statistique de test l'est aussi, et la définition de la région de rejet pour une valeur fixée du seuil pose les problèmes habituels. En pratique, on se contentera de calculer la p-valeur.

Reprenons l'exemple d'un échantillon de la loi de Bernoulli, avec les deux hypothèses :

contre

où . La règle de décision est du type :

Rejet de

Comme souvent, on est amené à transformer la règle de décision par équivalences, pour se ramener à une statistique de test dont on sache calculer la loi.

La valeur devra être telle que . Or suit la loi binomiale . On retrouve le test unilatéral à droite classique pour la valeur d'une probabilité. Comme application numérique, si 0.5 et 0.8, prend la valeur 6, la p-valeur est :

On ne rejettera donc pas .

Voici un autre exemple portant sur des lois continues (loi uniforme contre loi beta).

contre

Les lois et ont pour densités respectives :

1 et1

La règle de décision du test du rapport de vraisemblance sera :

Or si suit la loi (hypothèse ), alors suit la loi exponentielle , et comme les sont indépendantes, suit la loi gamma . La règle de décision pour le test de seuil est donc :

Rejet de

L'avantage du test du rapport de vraisemblance (quand on peut le construire explicitement), est qu'il garantit la meilleure puissance possible, d'après le théorème de Neyman-Pearson :

Théorème 4.6 Le test du rapport de vraisemblance de seuil est plus puissant que tout test de seuil , pour les deux hypothèses simples contre .

Si désigne le risque de deuxième espèce du test du rapport de vraisemblance, et celui d'un autre test des mêmes hypothèses, dire que le test du rapport de vraisemblance est plus puissant que l'autre revient à dire que est inférieur à .

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