# Les dix suspects

C. Robert
Dix suspects d'un délit commis par une seule personne sont proposés à l'identification par quatre témoins. Chaque témoin désigne un suspect comme étant le coupable, sans connaître le choix des autres témoins.

Un des suspects est désigné deux fois. Pensez vous que cela constitue une lourde charge contre lui ?

Imaginons la situation la plus absurde qui soit : chaque témoin désigne un suspect au hasard, les choix étant indépendants. Quelle est alors la probabilité pour qu'au moins un suspect soit désigné au moins deux fois ?

Le calcul est simple, mais si vous ne savez pas le faire, la simulation est aussi très simple et vous donnera une valeur approchée de cette probabilité. En effet, il suffit de prendre des chiffres au hasard par paquets de 4 et de compter la fréquence f des paquets contenant quatre chiffres distincts. Alors 1-f est une approximation de la probabilité p cherchée, dont la valeur est :

p=1-0,9.0,8.0,7 = 0,496
Il y a donc presque une chance sur deux qu'en désignant les suspects au hasard, au moins l'un deux soit désigné deux fois.

La probabilité p est en fait la somme des probabilités suivantes :

p=p1+p2+p3+p4
où

p1 est la probabilité qu'un seul suspect soit désigné deux fois, deux autres suspects étant aussi désignés ; on trouve p1 = 0,432.
p2 est la probabilité que deux suspects soient désignés exactement deux fois ; on trouve p2= 0,027.
p3 est la probabilité qu'un suspect soit désigné exactement trois fois ; on trouve p3= 0,036
p4 est la probabilité qu'un suspect soit désigné exactement quatre fois ; on trouve p4 = 0,001.

Que l'on se réfère à l'événement "les quatre suspects désignés ne sont pas tous distincts", de probabilité 0,496 ou à l'événement "les quatre témoins désignent trois suspects distincts", de probabilité 0,432, on ne peut pas penser qu'un événement qui a plus de 4 chances sur 10 de pouvoir être produit par pur hasard constitue à lui tout seul et pris isolément une quelconque charge.

En disant ceci, nous ne tenons pas compte d'autres charges éventuelles contre le suspect désigné. Si indépendamment de la désignation des témoins, il y a un faisceau de preuves de la culpabilité d'un suspect particulier noté A, on se posera alors la question : quelles sont les probabilités q0, q1, q2, q3, q4 que le suspect A soit par hasard désigné exactement 0, 1, 2, 3, 4 fois ?

On a maintenant :

q0 = 0,9.0,9.0,9.0,9 = 0,6561 ;
q1 = 4 . 0,1.0,9.0,9.0,9 = 0,2916 ;
q2 = 6 . 0,1.0,1.0,9.0,9 = 0,0486 ;
q3 = 4 . 0,1.0.1.0,1.0,9 = 0,0036 ;
q4 = 0,1.0,1.0,1.0,1 = 0,0001.

La probabilité que le suspect A soit désigné exactement deux fois est 0,0486. La probabilité qu'il soit désigné au moins deux fois est 0,0523. Le hasard seul a environ une chance sur 20 de produire l'événement considéré. On peut donc penser que le choix des témoins n'a pas été fait au hasard, et le résultat constitue une charge contre A. Bien sûr, considérer comme une lourde charge un événement que le hasard seul produit environ une fois sur 20 est autre chose et dépend de l'idée subjective que l'on se fait d'une lourde charge et de ses conséquences possibles sur le jugement et la peine finale.