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## Espérance

Rappelons l'interprétation d'une loi de probabilité comme une répartition de masse. L'espérance d'une loi de probabilité est le barycentre de cette répartition de masse.

Lois discrètes. Considérons une variable aléatoire discrète , prenant les valeurs . Si la série converge alors l'espérance est :

C'est bien le barycentre des points d'abscisse , affectés des poids .

Lois continues.

Soit de densité sur . Une densité s'interprète comme une distribution de masse continue sur . C'est encore son barycentre que l'on calcule. Si l'intégrale converge, alors l'espérance est :

Les propriétés principales de l'espérance sont les suivantes.

Proposition 3.11

1. Si et admettent une espérance, alors :

2. Si et sont indépendantes et admettent une espérance alors :

Démonstration : La propriété 1 est une traduction de la linéarité de la somme (variables discrètes) ou de l'intégrale (variables continues). Nous démontrons la propriété 2 pour des variables discrètes.

Si prend les valeurs , prend les valeurs , et étant indépendantes, le couple prend les valeurs avec probabilité . On a donc :

Le terme d'espérance se justifie pleinement dans le cas d'un gain aléatoire. Voici l'exemple du Keno, pour numéros cochés sur une grille (qui coûte F).

bon(s) numéro(s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4
gain | 0 | 0 | 0 | 100 | 1000
probabilité | 0.2512 | 0.4275 | 0.2538 | 0.0622 | 0.0053

Espérance :

F.

Voici les espérances de gain en fonction du nombre de numéros cochés (toujours pour F versés à la Française des Jeux).

K | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10
Espérance | 11.50 | 10.41 | 11.82 | 11.25 | 11.78 | 11.19 | 11.62

Le tableau ci-dessous donne les espérances des lois usuelles, discrètes et continues.

Loi | Espérance
Uniforme |
Bernoulli |
Binomiale |
Géométrique |
Poisson |
Hypergéométrique |
Binomiale négative |
Uniforme |
Exponentielle |
Normale |
Weibull |
Gamma |
Chi-deux |
Béta |
Log-normale |
Student | 0 si
Fisher | si

On rencontre fréquemment le problème consistant à calculer l'espérance d'une variable aléatoire qui est fonction d'une autre variable variable aléatoire, dont la loi est connue : . Une première solution consiste à déterminer la loi de , puis son espérance. La proposition suivante montre que ce n'est pas nécessaire.

Proposition 3.12 Soit une fonction de dans .

1. Soit une variable aléatoire discrète, prenant les valeurs . La variable aléatoire admet une espérance si et seulement si la série
   converge. Si c'est le cas, on a :

2. Soit une variable aléatoire continue, de densité . La variable aléatoire admet une espérance si et seulement si l'intégrale converge. Si c'est le cas, on a :

Les calculs de variances du paragraphe suivant sont une application de cette proposition.

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