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## Variables aléatoires continues.

Définition 3.6 Soit une variable aléatoire à valeurs dans et une densité de probabilité sur . On dit que est une variable aléatoire continue de densité si pour tout intervalle de on a :

La loi de la variable aléatoire est la loi continue sur , de densité .

Pour déterminer la loi d'une variable aléatoire continue, il faut donc calculer sa densité. De manière équivalente, on détermine la loi d'une variable continue en donnant la probabilité qu'elle appartienne à un intervalle quelconque. C'est ce que nous avions fait pour notre exemple de base, l'appel de `Random`, qui est une variable aléatoire continue, de densité 1.

Une variable aléatoire continue , de densité , tombe entre et avec une probabilité égale à :

Plus la densité est élevée au-dessus d'un segment, plus les chances que a d'atteindre ce segment sont élevées, ce qui justifie le terme " densité".

Comme nous l'avons déjà observé pour `Random` , la probabilité pour une variable aléatoire continue, de tomber sur un point quelconque est nulle.

Par conséquent :

Notons aussi que modifier une densité en un nombre fini ou dénombrable de points ne change pas la valeur des intégrales sur des segments, ni par conséquent la loi de probabilité continue correspondante. La valeur de la densité en un point particulier importe peu. Par exemple `Random` a pour densité aussi bien 1 que 1.

Comme dans le cas discret quelques exemples de base sont à connaître.

Loi uniforme. La loi uniforme sur un intervalle est la loi des "tirages au hasard" dans cet intervalle. Si sont deux réels, la loi uniforme sur l'intervalle est notée . Elle a pour densité :

1

`Random` est une variable aléatoire de loi uniforme .

Loi exponentielle. Les lois exponentielles modélisent des durées aléatoires, comme des durées de vie de particules en physique. La loi exponentielle de paramètre est notée . Elle a pour densité :

1

Loi normale. La loi normale, loi de Gauss, ou de Laplace-Gauss, est la plus célèbre des lois de probabilité. Son succès, et son omniprésence dans les sciences de la vie, viennent du théorème central limite que nous étudierons plus loin. La loi normale de paramètres et est notée . Elle a pour densité :

Les lois exponentielles et normales sont au centre des familles de lois classiques, qui sont les plus fréquemment rencontrées en statistiques.

Loi de Weibull. La loi de Weibull de paramètres et , notée a pour densité :

1

On l'utilise comme modèle pour des durées aléatoires, principalement en fiabilité (fonctionnement sans panne, réparations). La loi est la loi exponentielle .

Loi gamma. La loi gamma de paramètres et , notée a pour densité :

1

où est la "fonction gamma".

Pour entier, et , la loi est appelée loi de chi-deux à degrés de liberté, et notée . C'est la loi de la somme des carrés de variables aléatoires indépendantes de loi . On l'utilise pour les variances empiriques d'échantillons gaussiens. La loi est la loi exponentielle .

Loi béta. La loi béta de paramètres et , notée a pour densité :

1

Cette famille fournit des modèles non uniformes pour des variables aléatoires bornées. Si des variables aléatoires indépendantes suivent la loi uniforme , leurs statistiques d'ordre (valeurs réordonnées) suivent des lois béta.

Loi log-normale. La loi log-normale est la loi d'une variable aléatoire à valeurs positives, dont le logarithme suit la loi . Elle a pour densité :

1

En médecine, de nombreux paramètres physiologiques sont modélisés en utilisant des lois log-normales.

Loi de Student. La loi de Student à degrés de liberté, est la loi du rapport , où les variables aléatoires et sont indépendantes , de loi , de loi . Elle a pour densité :

On l'utilise pour étudier la moyenne empirique d'un échantillon gaussien.

Loi de Fisher. La loi de Fisher de paramètres et (entiers positifs), est la loi du rapport , où et sont deux variables aléatoires indépendantes, de lois respectives et . Elle a pour densité :

On l'utilise pour comparer des variances d'échantillons gaussiens.

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