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Loi faible des grands nombres

Théorème 4.1 Soit une variable aléatoire admettant une variance. Soit une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi que . Alors :

quand

Démonstration : On a :

et

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne :

quand

L'idée intuitive est que si on mesure une même quantité aléatoire au cours d'une suite d'expériences indépendantes, alors la moyenne arithmétique des valeurs observées va se stabiliser sur l'espérance. Comme cas particulier on retrouve la loi des grands nombres pour la probabilité d'un évènement. Pour une suite d'expériences indépendantes notons l'indicatrice de l'évènement à la -ème expérience. Les suivent la loi de Bernoulli de paramètre et est la fréquence expérimentale de .

L'ordre de grandeur de l'erreur commise en approchant par la moyenne est : dans la dernière inégalité de la démonstration, prenons . On a :

Cette estimation d'erreur sera précisée plus loin par la notion d'intervalle de confiance, grâce au théorème central limite.

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