# Le rapido

B. Ycart

Voici la règle du "rapido", qui figure sur les bulletins de jeu, ou sur le site de la Française des Jeux.

Le bulletin : il est composé de deux grilles dans lesquelles il faut cocher des numéros. Dans la grille A, vous cochez 8 numéros sur 20, dans la grille B, vous cochez 1 numéro sur 4. Puis, il faut choisir votre mise par tirage (5F ou 10F) ainsi que le nombre de tirages auxquels vous souhaitez participer (de 1 à 50).

Validations : vous pouvez valider votre bulletin tous les jours de 06h00 à 24h00.

Résultats : toutes les 5 minutes de 06h00 à 24h00, un tirage national est diffusé sur un écran vidéo situé dans l'espace bar de l'établissement. Les résultats sont également disponibles sur Minitel 3615 Loto (1,29 F /mn).

Gains : à chaque tirage, 8 numéros sont tirés dans la grille A et un numéro dans la grille B. Rapido est un jeu de contrepartie. C'est-à-dire que les gains sont connus à l'avance. Ils dépendent du nombre de numéros trouvés dans les grilles A et B. Il s'échelonnent entre 5F et 50.000 F pour une mise de 5F et de 10F à 100.000 F pour une mise de 10F.

Vous avez une chance sur 5.5 de gagner. Le taux de retour aux joueurs est de 68%.

Vous avez trouvé | Pour 5 francs, vous gagnez | Pour 10 francs, vous gagnez
8 numéros dans la grille A et le numéro dans la grille B | 50.000 F | 100.000 F
8 numéros dans la grille A | 5.000 F | 10.000 F
7 numéros dans la grille A et le numéro dans la grille B | 750 F | 1.500 F
7 numéros dans la grille A | 250 F | 500 F
6 numéros dans la grille A et le numéro dans la grille B | 150 F | 300 F
6 numéros dans la grille A | 50 F | 100 F
5 numéros dans la grille A et le numéro dans la grille B | 30 F | 60 F
5 numéros dans la grille A | 10 F | 20 F
4 numéros dans la grille A et le numéro dans la grille B | 5 F | 10 F

Peut-on vérifier les affirmations de la française des jeux sur la probabilité de gagner et le "taux de retour aux joueurs" ? Peut-on estimer combien ce jeu lui rapporte ?

Comme pour de nombreux autres jeux, le calcul des probabilités de gain est basé sur la loi hypergéométrique. Pour la grille A, sur N=20 numéros, m=8 sont "marqués" (par le tirage officiel) et le joueur en choisit n=8 (tirages sans remise). Le nombre de bons numéros obtenus sur la grille A suit donc la loi hypergéométrique de paramètres (20,8,8). Si la variable aléatoire X est le nombre de bons numéros, elle prend la valeur k avec probabilité :

Les tirages dans les deux grilles étant supposés indépendants, on multiplie les probabilités précédentes par 1/4 ou 3/4 selon qu'on a obtenu le numéro de la grille B ou non. On trouve ainsi les probabilités suivantes.

Evènement | Probabilité
8 numéros dans la grille A et le numéro dans la grille B | 1.98 10-6
8 numéros dans la grille A | 5.95 10-6
7 numéros dans la grille A et le numéro dans la grille B | 1.91 10-4
7 numéros dans la grille A | 5.72 10-4
6 numéros dans la grille A et le numéro dans la grille B | 3.67 10-3
6 numéros dans la grille A | 1.10 10-2
5 numéros dans la grille A et le numéro dans la grille B | 2.45 10-2
5 numéros dans la grille A | 7.34 10-2
4 numéros dans la grille A et le numéro dans la grille B | 6.88 10-2

En sommant les probabilités de ce tableau, on trouve la "probabilité de gagner", 0.182, qui est effectivement proche de 1/5.5. Remarquons tout de même que la probabilité de ne gagner que sa mise vaut déjà 0.0688. Parmi les "gagnants", plus de 1 sur 3 en moyenne (0.0688/0.182) ne fait que rentrer dans ses fonds. La probabilité de ne gagner que 2 fois sa mise est 0.0734. De sorte que 78% des gagnants ((0.0688+0.0734)/0.182) ont un bilan nul, ou égal à leur mise.

En multipliant les probabilités par les gains et en sommant, on obtient l'espérance de gain, qui est de 6.65 F pour 10 Francs misés, et non 6.8 comme annoncé. Cela signifie que environ les deux tiers des mises sont reversées aux joueurs, ce qui est un pourcentage plus élevé que dans d'autres jeux, comme le Keno.

Un des arguments de promotion pour ce jeu est le suivant.

Chaque semaine, 10 joueurs gagnent 100000 F.

Un renvoi en bas de page précise que ceci est une moyenne sur les 10 dernières semaines de 1999. On en conclut donc que sur cette période, 100 joueurs, parmi ceux qui avaient misé 10 F, ont "trouvé" les 8 numéros de la grille A et celui de la grille B. Ceci nous donne une indication sur le nombre total de joueurs, et partant sur le bénéfice hebdomadaire de la française des jeux.

Si sur une semaine donnée n personnes jouent au rapido, le nombre de celles qui gagnent le "gros lot" suit une loi binomiale, de paramètres n et p=1.98 10-6. Soit en moyenne, np gagnants (l'espérance de la loi). S'il y a eu 10 gagnants, il est raisonnable de donner comme estimation ponctuelle pour n la quantité :

10/p = 5 038 800.
On peut donc estimer à environ 5 millions le nombre de joueurs qui chaque semaine misent 10 francs au rapido. Comme chaque mise de 10 F rapporte en moyenne 10-6.65=3.35 F, la française des jeux encaisse de l'ordre de 17 millions de francs.

Bien évidement, les estimations ci-dessus ne sont qu'indicatives. Le nombre de joueurs varie de semaine en semaine, et il n'est sûrement jamais rigoureusement égal à 5 038 800. Il est raisonnable de penser que certaines semaines (vacances ou autres) sont plus ou moins favorables au jeu.

On peut donner un intervalle de confiance pour le nombre hebdomadaire n de joueurs, en utilisant les fonctions de répartition des lois binomiales. En se basant sur 10 gagnants pour une semaine, on trouve l'intervalle de confiance bilatéral suivant, au niveau 0.95.

[ 2 770 000 ; 9 270 000 ]

Peut-on donner un plancher raisonnable pour le nombre de mises hebdomadaires ?

Pour n=2 106 et p=1.98 10-6, la fonction de répartition de la loi binomiale de paramètres n et p au point 9 vaut 0.99. Cela signifie que si le nombre de mises était inférieur à 2 millions, la probabilité d'observer 10 gagnants du gros lot ou plus serait inférieure à 1%. On peut donc affirmer avec une confiance raisonnable que plus de 2 millions de mises ont dû être enregistrées pour qu'il y ait eu 10 gagnants.
Cela fait tout de même un bénéfice (minimal) de 6.7 millions de francs par semaine.