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## Tests de Wilcoxon et Mann-Whitney

Reprenons encore le problème de tester l'effet d'un traitement sur un caractère donné (le taux de cholestérol par exemple). Un groupe témoin sans traitement correspond à un premier échantillon de la loi . Sur un deuxième groupe, avec traitement, les valeurs mesurées sont celles de l'échantillon de la loi . Les deux lois et sont inconnues. Si le traitement n'a aucun effet (hypothèse nulle), les deux lois sont identiques.

L'idée du test de Wilcoxon est la suivante : si on rassemble les deux échantillons, et que l'on range les valeurs dans l'ordre, l'alternance des et des devrait être assez régulière. On aura des doutes sur si les sont plutôt plus grands que les , ou plus petits, ou plus fréquents dans une certaine plage de valeurs. On commence donc par écrire les statistiques d'ordre de l'échantillon global (s'il y a des ex-æquo, on tire au hasard une permutation). On obtient ainsi une suite mélangée des et des . On calcule ensuite la somme des rangs des , notée (c'est la statistique de Wilcoxon ). Sous l'hypothèse , la loi de se calcule facilement : sur un échantillon de taille , il y a ordres possibles. Le nombre de rangements possibles des est , et ils sont équiprobables. On a donc pour tout entier allant de à :

où désigne le nombre de -uplets d'entiers dont la somme vaut et qui sont tels que :

Il est facile de tabuler numériquement la loi de , pour des valeurs raisonnables de et . Pour les grandes valeurs, on dispose du résultat d'approximation normale suivant :

Théorème 2.8 Sous l'hypothèse , la loi de

converge vers la loi normale .

Voici par exemple deux échantillons de taille 10.

Voici les statistiques d'ordre de l'échantillon de taille 20 regroupé (les valeurs du premier échantillon sont soulignées).

La statistique prend la valeur :

Les valeurs du premier échantillon ont tendance à être plus petites que celles du second. On cherche à savoir si cette tendance est significative, on réalisera donc un test unilatéral à gauche (rejet d'une valeur trop petite de ). La p-valeur correspondante est :

Le test de Mann-Whitney provient d'une autre approche mais il est équivalent au précédent. Dans l'exemple ci-dessus, nous voulions vérifier que les valeurs du premier échantillon étaient plus souvent plus petites que celles du second. On aurait pu pour cela compter le nombre de couples pour lesquels (avec choix aléatoire en cas d'ex-æquo).

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On vérifie aisément que les deux statistiques et sont liées par la relation suivante :

Les deux tests sont donc strictement équivalents. Pour notre exemple, la statistique prend la valeur :

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