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## Echantillons gaussiens

Ce paragraphe est consacré à la construction d'intervalles de confiance de la moyenne et la variance, pour les échantillons gaussiens, autrement dit les échantillons de la loi normale . L'avantage de cette situation est que les estimateurs naturels de l'espérance et de la variance ont des lois explicitement calculables. Nous notons un échantillon de la loi , sa moyenne empirique et sa variance empirique .

et

Nous rassemblons ci-dessous, et nous admettrons, les trois résultats permettant de calculer les intervalles de confiance de et .

Théorème 3.3 Si est un échantillon de la loi , alors :

1. suit la loi normale .
2. suit la loi de Student .
3. suit la loi du chi-deux .

Les deux premières affirmations servent à estimer l'espérance , respectivement dans le cas où la variance est connue et dans le cas où elle est inconnue. Commençons par supposer que est connue. Posons . L'intervalle de dispersion optimal de niveau pour la loi est . Deux valeurs de sont très souvent utilisées : pour 0.95 et 0.99, vaut respectivement 1.96 et 2.5758. D'après le point 1 du théorème 3.3, on a :

Or :

L'intervalle :

est donc un intervalle de confiance de niveau pour .

Le cas où est inconnu se traite de la même façon, en remplaçant la loi par la loi . C'est encore une loi symétrique, pour laquelle l'intervalle de dispersion optimal de niveau est de la forme , où :

Le même raisonnement conduit à l' intervalle de confiance suivant pour :

Passons maintenant à l'estimation de à partir de . La loi du chi-deux n'est pas symétrique, et l'intervalle de dispersion symétrique n'est pas optimal. Nous noterons et deux réels positifs tels que soit un intervalle de dispersion de niveau pour la loi . On pourra calculer l'intervalle de dispersion optimal par une procédure d'optimisation numérique, ou bien prendre l'intervalle symétrique :

et

D'après le point 3 du théorème 3.3, on a :

Or :

L'intervalle est donc un intervalle de confiance de niveau pour .

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