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## Intervalles de dispersion

L'erreur quadratique mesure la concentration d'un estimateur autour de la valeur du paramètre. Les intervalles de dispersion sont un autre moyen de mesurer la plus ou moins grande concentration d'une loi de probabilité. Ils s'expriment à l'aide de la fonction quantile. Si est une variable aléatoire, la fonction quantile de la loi de est la fonction de [0,1] dans qui à [0,1] associe :

t.q.

Définition 1.9 Soit une variable aléatoire un réel compris entre 0 et 1. On appelle intervalle de dispersion de niveau tout intervalle de la forme :

avec

En statistique, les réels compris entre 0 et 1 sont de tradition. La même tradition leur affecte prioritairement les valeurs 0.05 et 0.01, plus rarement 0.02, 0.005 ou 0.001. Il faut donc lire comme ''une faible proportion'', et comme ''une forte proportion''. Un intervalle de dispersion de niveau pour est tel que appartient à cet intervalle avec probabilité . Il contient donc une forte proportion des valeurs que prendra , même s'il est en général beaucoup plus petit que le support de la loi.

Selon les valeurs de , on dit qu'un intervalle de dispersion de niveau est :

  unilatéral inférieur si ,
  unilatéral supérieur si ,
  symétrique si ,
  optimal si son amplitude est la plus courte parmi tous les intervalles de dispersion de niveau .

Déterminer un intervalle de dispersion optimal requiert en général un calcul numérique particulier, sauf dans le cas où la loi est symétrique, comme une loi normale ou une loi de Student. On dit que la loi de est symétrique si pour tout [0,1],

On démontre que si la loi de est symétrique, alors l'intervalle de dispersion symétrique est optimal.

La notion de convergence se traduit en termes d'intervalles de dispersion de la façon suivante.

Proposition 1.10 Soit un estimateur du paramètre . L'estimateur est convergent si et seulement si pour tout , avec , et pour tout , l'intervalle de dispersion est inclus dans l'intervalle à partir d'un certain .

Démonstration : Dire qu'un estimateur est convergent, c'est dire que la probabilité que appartienne à l'intervalle tend vers 1 quand la taille de l'échantillon tend vers l'infini. Si est différent de 0, il existe tel que pour supérieur à , la probabilité que soit inférieur à , est inférieure à . Ceci équivaut à dire que est inférieur à . De même si est différent de 0, il existe tel que pour supérieur à , la probabilité que soit inférieur à , est supérieure à . Ceci équivaut à dire que est supérieur à . Donc pour supérieur à et , l'intervalle de dispersion est inclus dans l'intervalle .

Réciproquement, si est inclus dans à partir d'un certain , alors la probabilité que soit compris entre et est supérieure à . Ceci étant vrai pour tout , cette probabilité tend vers 1.
A titre d'exemple, nous reprenons l'estimateur pour la loi uniforme , à savoir le maximum des valeurs de l'échantillon. Sa fonction quantile est la fonction qui à [0,1] associe :

Pour et fixés, l'intervalle de dispersion a pour longueur :

Il se trouve que l'intervalle de dispersion optimal coïncide avec l'intervalle de dispersion unilatéral supérieur ( ). La borne de gauche est , la borne de droite est . Voici quelques valeurs pour la quantité , qui tend vers 1 quand tend vers l'infini.

| 0.05 | 0.01 | 0.001
10 | 0.741 | 0.631 | 0.501
100 | 0.970 | 0.955 | 0.933
1000 | 0.997 | 0.995 | 0.993

Quand la loi de la variable aléatoire est discrète, la notion d'intervalle de dispersion recèle une certaine ambiguïté. Considérons par exemple la loi binomiale . Voici les valeurs de sa fonction de répartition.

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10
| 0.000 | 0.002 | 0.012 | 0.055 | 0.166 | 0.367 | 0.618 | 0.833 | 0.954 | 0.994 | 1

Fixons 0.9. En toute rigueur, la valeur de la fonction quantile. au point 0.9 est 7. L'intervalle [0,7] devrait donc être un intervalle de dispersion de niveau 0.9 pour la loi . Pourtant sa probabilité n'est que de 0.833. Pour les calculs utilisant les intervalles de dispersion, on applique toujours un principe de précaution, qui consiste à garantir le niveau. On ne qualifiera donc d'intervalle de dispersion de niveau que les intervalles dont la probabilité est supérieure ou égale à . Ce principe amène à modifier la définition 1.9 pour les lois discrètes à valeurs dans , en remplaçant la borne de droite par . Le tableau ci-dessous donne la liste des intervalles de dispersion de niveau 0.9, avec leur probabilité exacte, pour la loi .

Intervalle | [0,8] | [1,8] | [2,8] | [3,8] | [4,9] | [4,10]
Probabilité | 0.954 | 0.954 | 0.952 | 0.941 | 0.939 | 0.945

Deux intervalles sont d'amplitude minimale, [3,8] et [4,9]. On choisira celui dont la probabilité est la plus proche du niveau prescrit,à savoir [4,9].

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