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Variance

Définition 3.13 On appelle variance de , et on note , l'espérance de la variable aléatoire , si elle existe.

On démontre que l'existence de la variance entraîne celle de l'espérance. Par contre une variable aléatoire peut très bien avoir une espérance mais pas de variance. C'est le cas par exemple si a pour densité :

1

Le calcul des variances est souvent simplifié par le résultat suivant.

Proposition 3.14 La variance de existe si et seulement si existe et on a :

Démonstration : Pour passer de la définition à la formule ci-dessus, il suffit de développer le carré et d'utiliser la linéarité de l'intégrale.

La variance mesure de combien les valeurs prises par s'écartent de la valeur moyenne . Elle n'est pas homogène : si est une longueur exprimée en mètres, est en mètres-carrés. On corrige ceci en introduisant l'écart-type qui est la racine carrée de la variance. Les propriétés principales de la variance sont les suivantes.

Proposition 3.15

  Pour tout : .
  Pour tout : .
  Si et sont indépendantes, alors :

Démonstration : Les deux premières propriétés sont des conséquences directes de la définition. Pour la troisième, si et sont indépendantes, alors et le sont aussi. On a donc :

L'inégalité de Bienaymé-Tchebichev ci-dessous traduit l'idée intuitive que les valeurs prises par s'écartent d'autant moins de que est plus faible. Le cas extrême est celui d'une variable aléatoire de variance nulle, qui ne peut prendre qu'une seule valeur.

Théorème 3.16 Soit une variable aléatoire admettant une variance. Alors, pour tout :

Démonstration : Nous démontrons ce résultat pour les variables continues, le raisonnement pour les variables discrètes est analogue. Posons . On a :

Le tableau ci-dessous donne les variances des lois usuelles, discrètes et continues.

Loi | Variance
Uniforme |
Bernoulli |
Binomiale |
Géométrique |
Poisson |
Hypergéométrique |
Binomiale négative |
Uniforme |
Exponentielle |
Normale |
Weibull |
Gamma |
Chi-deux |
Béta |
Log-normale |
Student | si
Fisher | si

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