# Une série à la roulette

C. Robert

En regardant 100 jeux consécutifs d’une roulette de casino, un joueur observe que dans la série des résultats, il y a 6 fois consécutivement la même couleur.

Une suite de résultats consécutifs aussi longue est-elle exceptionnelle ?

La locution " aussi longue " dans cette question mérite réflexion ; mais si on pense que 6 coups consécutifs égaux, cela fait beaucoup, on penserait a fortiori que 7 coups consécutifs égaux, ou plus, c'est beaucoup ; aussi on ne se focalise pas sur 6, mais sur le fait d'observer au moins 6 coups consécutifs égaux.
Pour donner des éléments de réponse à cette question, considérons la situation suivante :

On effectue r tirages à la roulette, on note N pour noir et R pour rouge (le zéro n'est pas pris en compte).

Pour compter le nombre maximum m de coups consécutifs égaux, on fabrique un compteur : à partir d'une liste a1,.., ar de lettre R ou N, on construit une liste b1,.., br par l'algorithme suivant :

Entrer : r ; (a1,.., ar)

b1 =1

Pour i=2 à r :

Si ai=ai-1 alors bi=bi-1+1

Sinon bi=1

Résultat : m=max (b1,.., br).
Par exemple :

R | R | R | N | R | N | N | R | N | R | R | N | N | R | N
1 | 2 | 3 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 1

Une expérience consiste à effectuer une série de n tirages à la roulette et à lui associer le nombre maximum de coups consécutifs égaux, noté m (a priori, m est un entier entre 1 et r).
n simulations pour r=10

m | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10
n=10 | 0 | 5 | 1 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0
n=100 | 0 | 11 | 37 | 20 | 21 | 9 | 2 | 0 | 0 | 0
n=1000 | 1 | 160 | 350 | 253 | 126 | 68 | 31 | 6 | 2 | 3
n=1000 | 1 | 186 | 347 | 258 | 121 | 54 | 24 | 7 | 1 | 1
n=1000 | 5 | 147 | 344 | 273 | 133 | 62 | 25 | 5 | 4 | 2
n=1000 | 4 | 163 | 357 | 239 | 141 | 62 | 23 | 7 | 3 | 1

n simulations pour r=100

m | £ 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | ³ 14 | max
n=1000 | 23 | 150 | 306 | 220 | 137 | 77 | 40 | 32 | 10 | 3 | 2 | 17
n=1000 | 21 | 164 | 240 | 255 | 146 | 85 | 47 | 26 | 9 | 6 | 1 | 15

La question posée au début de ce texte concerne l'événement {m³ 6}. Or sur les 2000 expériences, environ 82% réalisent cet événement ; il semble difficile de dire qu'un événement qui se produit dans 82% des cas sur 2000 expériences est exceptionnel ! La fréquence observée est bien sûr soumise à la fluctuation d'échantillonnage ; le calcul des probabilités permet de montrer que pour n expériences, lorsque n augmente, la fréquence observée se rapproche d'un nombre p» 0,80.